Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Théorème Relation fonctionnelle de l'exponentielle

Pour tous réels  `x`  et  `y` , on a  \(\text{exp}(x) \times \text{exp}(y) = \text{exp}(x+y)\) .

Démonstration
Soit  \(y\) un nombre réel et \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\)  par  \(g(x) = \dfrac{\text{exp}(x + y)}{\text{exp}(x)}\) .
La fonction \(g\)  est dérivable sur \(\mathbb{R}\)  en tant que quotient de fonctions dérivables et dont le dénominateur ne s'annule pas sur  \(\mathbb R\) . Pour tout  \(x\)  réel,   \(g'(x) = \dfrac{(\text{exp}(x+y))'\text{exp}(x) - \text{exp}(x+y)(\text{exp}(x))'}{(\text{exp}(x))^2}= \dfrac{\text{exp}(x+y)exp(x) - \text{exp}(x)\text{exp}(x+y)}{(\text{exp}(x))^2} = 0\) On en déduit que la fonction  \(g\)  est constante. 
Or,  \(g(0) = \dfrac{\text{exp}(0 + y)}{\text{exp}(0)}= \dfrac{\text{exp}(y)}{1} = \text{exp}(y)\) , donc \(g(x) = \text{exp}(y)\)  pour tout \(x\)  réel, ce qui implique que  \(\dfrac{\text{exp}(x + y)}{\text{exp}(x)} = \text{exp}(y)\) , donc que   \(\text{exp}(x+y) = \text{exp}(x) \times \text{exp}(y)\) .

Conséquences

• Pour tout \(x\) dans \(\mathbb R\) , \(\dfrac{1}{\text{exp}(x)} = \text{exp}(-x)\) .
  Idée de la preuve : on utilise la relation fonctionnelle avec \(y=-x\) et on se souvient que \(\text{exp}(0)=1\) .
  
• Pour tout \(x,y\) dans \(\mathbb R\) , \(\dfrac{\text{exp}(x)}{\text{exp}(y)} = \text{exp}(x-y)\) .
  Idée de la preuve : on écrit, pour tout   \(x,y\) dans \(\mathbb R\)     \(\dfrac{\text{exp}(x)}{\text{exp}(y)} = \text{exp}(x)\times \dfrac{1}{\text{exp}(y)}= \text{exp}(x)\times {\text{exp}(-y)}\) puis on utilise la relation fonctionnelle.
  
•   Pour tout \(x\) dans \(\mathbb R\) , pour tout  \(n\) entier naturel \((\text{exp}(x))^n = \text{exp}(n \times x)\) .
  

Remarque
La dernière propriété s'éteint au cas où l'exposant est un réel : pour tout \(a\) réel,   \((\text{exp}(x))^a= \text{exp}(a \times x)\) .